수학이란 무엇일까요? 왜 현대 문명국가에서 필수로 가르칠까요?

수학은 한마디로 표현하면 수학은 연역적 추론입니다.

현대의 수학은 고대 그리스 철학자들이 논리를 사용하여 자신의 주장(이론)을 증명하면서 시작했다고 할 수 있습니다.

논리는 크게 연역적 추론과 귀납적 추론이 있는데, 이 중에서 수학은 연역적 추론을 사용합니다.

물론 수학적 귀납법을 사용하기도 하지만, 이는 셀 수 있는 특수한 경우에만 사용합니다.

무수히 많은 실수 집합에서 셀 수 있는 수인 정수는 매우 특수한 경우입니다.

고대 그리스의 유클리드가 쓴 기하학 원론이라는 책이 있습니다. 

기하학 원론의 내용은 중학교때 배웠던 삼각형, 합동 등 도형들에 관한 내용입니다. 

점, 선, 면 등의 정의와 몇 가지 공리로부터 참인 명제들의 연역적 추론만으로 쓰여있는 책입니다.

이는 현대 수학(과학) 이론 서술(증명) 방법의 뼈대가 되었습니다.

현대의 문명 사회는 바로 이 연역적 추론(논증)을 익히기 위하여 수학을 필수로 가르칩니다.

수학은 자연철학(과학)의 일부로, 지금도 과학 이론의 대표적 증명 수단이기 때문입니다.

 

 

연역적 추론(deductive reasoning)이란 무엇인가요?

수학은 참과 거짓을 구별할 수 있는 문장만을 사용하는데 이런 참과 거짓을 구분할 수 있는 문장을 명제(statement)라고 합니다.

참과 거짓을 알 수 없는 애매한 문장은 사용하지 않습니다.

그런데 바로 이 명제를 이용한 연역적 추론(추리)이야말로 인간이 발견한 가장 확실한 방법입니다.

 

정언적 삼단 논법 (연역적 추론)

1. 나는 항상 일요일이면 축구를 본다. (p이면 q이다)

2. 나는 항상 축구를 보면 즐겁다. (q이면 r이다)

3. 그런데 오늘 일요일이다. 그래서 나는 즐겁다. 왜냐하면 축구를 봤기 때문이다. (p이다. 그래서 r이다. 왜냐하면 q이기 때문이다.) 

 

p->q 가 참이고 q->r 이 참이면 p->r 도 참입니다. (p 이면 q이다 를 p->q 으로 표기합니다.)

즉, 전제(조건)들로부터 결론을 추론하는 것을 연역적 추론이라고 합니다.

연역적 추론을 지속하면 논리적으로 p->q->r->... ->s->t => p->t 이렇게 할 수 있는데, 

결국 수학이란 명제(전제)들에 대해 참인지 항상 확인하면서(이유를 밝혀내면서) 연역적 추론을 하는 것입니다.

 

수학은 이렇게 전제들이 참인 문장 만으로 연역적 추론을 하게 되면, 전체 문장은 참이 되는 논리를 사용합니다.

그러나 이러한 삼단 논법에도 약점이 있습니다.

바로 각각의 추론 과정에 사용한 명제들이 참과 거짓 임을 확인 안 하고 애매하다면, 그 전체 추론이 반드시 참임을 증명할 수 없습니다.

그래서 연역적 추론의 각 단계에는 반드시 이유가 있어야 합니다. 

그래서 수학 문제를 풀 때 모든 추론 과정에 사용한 명제에 대해서 왜? 라는 질문에 반드시 답할 수 있어야만 옳은 결론에 도달합니다.

이 왜?라는 질문에 대답을 하려면 흔히 수학에서 말하는 개념(정의와 공리 및 정리)을 알고 있어야 대답할 수 있게 됩니다.

결국 이렇게 수학적 사고란 이렇게 명제를 연역적 추론하는 사고방식이라는 뜻입니다.

 

대우 명제(contrapositive)

p이면 q이다와 ~q이면 ~p이다는 서로 대우 명제의 관계에 있다고 부릅니다. (여기서 ~ 기호는 부정(not)의 의미)

본래 명제와 대우 명제는 서로 논리적으로 동치입니다. 

이에 대한 증명은 모든 경우의 수에 대하여 진리표(참,거짓)를 만들어보면 명백합니다.

즉, 본래 문장이 참이면 대우 명제도 항상 참이고 본래 문장이 거짓이면 대우 명제도 항상 거짓입니다.

'여당 대표가 사퇴를 한다면 야당 대표는 예산안에 찬성하겠다.'라는 명제가 항상 참이라면 다음 문장이 항상 참입니다.

'야당 대표는 예산안에 찬성하지 않았다. 그렇다면 여당 대표가 사퇴를 하지 않은 것이다.'  

p->q가 참임을 증명하기 어려운 경우 ~q->~p를 증명해서 대체할 수 있기 때문에 대우 명제는 수학에서 중요합니다.

 

 

연역 추론으로 증명하는 방법

야당 대표가 말하길: 여당 대표가 사퇴하면 예산이 통과될 것이다. (p이면 q이다)

이 말이 항상 참이 되는 경우는 어떤 경우일까요? 

1. 여당 대표가 사퇴했습니다. 그래서 예산이 통과되었습니다. (p이어서 q이다) 그래서 p->q는 참

2. 여당 대표가 사퇴했습니다. 하지만 예산이 통과되지 않았습니다. (p인데 ~q이다) 그래서 p->q는 거짓

3. 여당 대표가 사퇴하지 않았습니다. 그래서 예산이 통과 되지 않았습니다. (~p이어서 ~q이다) 그래서 p->q는 참

4. 여당 대표가 사퇴하지 않았습니다. 그런데 예산이 통과되었습니다. (~p인데 q이다) 그래서 p->q는 참

 

p -> ~q 인경우만 거짓이고 나머지는 참이 도출되었습니다.

여기서 신기한 점은 전제 조건 p를 부정했더니 항상 참의 결과가 도출되었다는 점입니다.

여당 대표가 사퇴하지 않았다면 예산이 통과되든 아니든 야당 대표는 거짓말을 한 게 아닌 게 되기 때문입니다.

그래서 본래 문장(p->q)은 항상 참이 되는 것입니다.

그래서 전제 조건을 부정하면 증명을 할 필요가 없는 것입니다.

항상 참이기 때문이죠.

그래서 우리는 p일 때 q 인가만 살펴보면(증명하면) 됩니다.

즉, 여당 대표가 사퇴했을 때 예산이 통과되는지 통과되지 않는지 살펴보면 야당 대표가 거짓말을 했는지 판단할 수 있게 되는 겁니다. 

 

예를 들어, 아인슈타인의 상대성 이론은 빛의 속도가 항상 일정한 장(필드)를 가정(전제)하고 출발한 이론입니다.

실제 우주가 빛의 속도가 일정하지 않다면 상대성 이론을 증명할 필요가 없습니다.

빛의 속도가 일정하지 않은 필드(장) 상태에선 상대성 이론이 맞든 틀리든 신경 쓰지 않아도 되는 것입니다.

빛의 속도가 일정한 전제 조건(필드) 하에서 상대성 이론은 참이며, 전제 조건을 부정한다고 해도 아인슈타인은 거짓을 말한 것이 아니기 때문입니다.

 

 

수학의 증명

수학은 이론을 항상 다음과 같이 증명을 하고 있습니다.

1. 대상을 정의합니다. (Definition: 대상에 이름을 붙임) => 참

2. 공리를 가정합니다. (Axiom: 대상을 참이라고 약속) => 참

3. 정의와 공리를 대상으로 연역적 추론을 합니다. => 참

 

모든 수학적 증명을 이렇게 연역적 추론으로 하게 되는 것입니다. 

정의와 공리가 거짓인 경우는 위에서 살펴본 것처럼 전제를 부정한 것이고 그러면 전체 문장은 항상 참이기 때문에 생각할 필요가 없습니다.

해당 정의와 공리로 구성된 연역 체계에서만 항상 참이다라고 말하고 있는 것이니까요.

 

예를 들어, 1 + 1 = 2라는 명제는 자연수와 더하기가 기존 집합론 기반 수학 체계처럼 정의된 체계에서만 참이며,

자연수와 더하기가 다르게 정의되고 공리가 다르게 가정된 체계(예: 부울 대수)에서는 거짓일 수 있습니다.

만약 기존 이론이 마음에 안 들면 자신만의 정의와 공리를 구성해 연역 추론을 해보시기 바랍니다.

그것을 우리는 새로운 이론이라고 부르는 것입니다.

그 새로운 이론이 자연현상을 잘 설명하면 훌륭한 이론으로 불리게 될 것입니다. (노벨상이나 필즈상은 덤)

 

 

러셀의 역설

A마을에 어떤 사람이 있습니다.

이 사람이 말하길 A마을 사람들이 하는 말은 모두 거짓말이라고 합니다.

이 명제는 모순입니다. 말한 사람도 A마을 사람이기 때문에 그의 말은 참인 동시에 거짓이기도 하죠.

거짓말쟁이 역설이라고 불리는 러셀의 역설은 기존 칸토어의 집합론 위에 세워진 수학 체계를 무너뜨렸습니다.

전부, 모든(for all)이라는 말을 사용할 때, 모든 것의 대상에 자기 자신을 포함시키면 항상 러셀의 역설이 발생합니다. 

그래서 이 역설을 해결하려면 전체 집합에서 자기 자신을 제외시켜야 합니다.

즉, 말하는 화자를 제외한 A마을 사람들이 하는 말은 모두 거짓말이라고 해야 모순이 없습니다.

그리하여 수학의 집합론도 수정을 할 수밖에 없었는데, 이후의 집합론을 공리적 집합론으로 부릅니다.

현대 수학은 이 공리적 집합론 토대 위에 쌓은 이론입니다.

 

여담으로 이 역설은 신은 전지전능하다라는 말을 공격하는 용도로 사용되기도 합니다.

전지전능이라는 말에 모든(for all)이라는 뜻을 포함하고 있기 때문에

"신은 악을 없애려 하지만 그럴 수 없는 것인가? 그렇다면 신은 전능한 것이 아니다."

"신은 모든 것을 할 수 있다. 신이 하지 못하는 것도 할 수 있는가?" 같은 모순이 생기게 됩니다.

역시 전지전능의 전체 집합에서 신 자신을 제외시켜야 러셀의 역설이 해결됩니다.